História da Trigonometria

As origens da trigonometria são incertas. É possível encontrar problemas que envolvem a co-tangente no Papiro Rhind e uma notável tábua de secantes na tábua cuneiforme babilônica Plimpton 332.

O desenvolvimento da trigonometria esta bastante ligado à astronomia. Os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. obtiveram várias informações que foram transmitidas para os gregos, foi essa astronomia primitiva que deu origem à trigonometria esférica. Foram os gregos que pela primeira vez fizeram um estudo das relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos que subtendem. Nas obras de Euclides já existiam teoremas equivalentes a leis ou fórmulas trigonométricas.

Em Os elementos é possível encontrar as leis do cosseno para ângulos obtusos e agudos, respectivamente, nas Proposições II.12 e II.13, porém enunciadas em linguagem geométrica. Hiparco de Nicéia ganhou o direito de ser chamado "o pai da trigonometria" pois na segunda metade do século II a.C., fez um tratado em doze livros que se ocupa da construção do que deve ter sido a primeira tabela trigonométrica, uma tábua de cordas, Ptolomeu também construiu uma tabela de cordas que fornece o seno dos ângulos de 0^o a 90^o com incrementos de 15".

Evidentemente Hiparco fez estes cálculos para usá-los em sua astronomia. Também parece ter sido Hiparco o primeiro a dividir o círculo em 360^o na sua tábua de cordas. Talvez ele tenha tomado a idéia de Hipsicles que dividiu o dia em 360 partes (inspirado na astronomia babilônica). Teon de Alexandria menciona um tratado de Cordas num círculo em seis livros, escrito por Menelau de Alexandria, que assim como vários outros de seus tratados se perdeu. Felizmente o seu tratado Sphaerica, em três livros, se preservou numa versão árabe.

No Livro I estabelece uma base teórica para estudo dos triângulos esféricos assim como Euclides fez para os triângulos planos, como teoremas usuais de congruência e teoremas sobre triângulos isósceles entre outros. Além disso, contém um teorema que não possui um análogo euclidiano, dois triângulos esféricos são congruentes quando os ângulos correspondentes são iguais (ele não fazia distinção entre triângulos esféricos congruentes e simétricos).


Carol Mara

Razões Trigonométrica no Triângulo Retângulo

Catetos e Hipotenusa    Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.    Observe a figura: Hipotenusa:    Catetos:         e Seno, Cosseno e Tangente    Considere um triângulo retângulo BAC: Hipotenusa:    , m() = a. Catetos:         , m() = b.                        , m() = c. Ângulos:         ,   e  .    Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.     Assim: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.    Assim:

Tangente

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

    Assim:

Caroline Carvalho

A razão trigonométrica depende da medida do ângulo ou do tamanho do triângulo retângulo?

A razão trigonométrica só depende da amplitude do ângulo; elas não dependem das dimensões do triângulo retângulo considerado, nem da unidade escolhida para medir os comprimentos. A explicação desse fato reside nas propriedades da semelhança de triângulos: Dois triângulos retângulos com um mesmo ângulo agudo têm o outro ângulo agudo também igual, pelo que são semelhantes, e têm assim os lados correspondentes diretamente proporcionais.

Agora vamos ver alguns exemplos típicos de aplicação destas razões em situações concretas.

Consideremos um triângulo retângulo e seja x um dos seus ângulos agudos.

Nessas condições:

O seno é o quociente do comprimento do cateto oposto pelo da hipotenusa.

O cosseno é o quociente do comprimento do cateto adjacente pelo da hipotenusa.

A tangente é o quociente do comprimento do cateto oposto pelo do cateto adjacente.

Bruno Costa

Exemplo de utilização das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

 1. Qual o valor mínimo da função y = 3 + 5 sen 2x?

Solução:
O valor mínimo da função ocorre quando o fator sen2x é mínimo, isto é, quando sen2x = -1.
Logo, o valor mínimo da função será y = 3 + 5(-1) = - 2 .



2-Determine o valor de sen(4290°).

R:Dividindo 4290 por 360, obtemos:

4290 690 330		360 11

Assim, 4290=11.360+330, isto é, os arcos de medidas 4290° e 330° são côngruos. Então: sen(4290°)=sen(330°)=-1/2  

Carol M.

Exemplo de utilização das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Determine os valores de cos(3555°).

Solução:

Dividindo 3555 por 360, obtemos

3555 315		360 9

Assim, 3555=9.360+315 e isto quer dizer que os arcos de medidas 3555° e 315° são côngruos, logo:

cos(3555°)=cos(315°)=/2

Caroline Carvalho   

                                                                  

Exemplo de utilização das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Em cada caso, calcule sen, cos e tg dos ângulos agudos dos triângulos retângulos abaixo.

Respostas:
Figura a: 
sen B = 2/5 
cos B = 1/5 
tg B = 2/1 = 2 

sen C = 1/5 
cos C = 2/5 
tg C = 1/2 

Figura b: 
sen E = 3/5 
cos E = 4/5 
tg E = 3/4 

sen F = 4/5 
cos F = 3/5 
tg F = 4/3 


Bruno Costa                        

Exemplo de utilização das razões trigonométricas no triângulo retângulo.

Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:

a)
          
b)
                    

Resolução:

a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
          

b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:

       

Matheus Eduardo